Cónicas

🔮 Cónicas

💡 Intuición Corta el cono: Las 4 cónicas nacen de un mismo cono. Cambia el ángulo del plano de corte y obtienes una curva distinta. Es como rebanar un helado: según cómo inclines el cuchillo, el borde del corte tiene forma de círculo, óvalo, U abierta o doble curva. ¡Vamos!

⭕ Circunferencia — Corte horizontal

🥚 Elipse — Corte oblicuo

〰️ Parábola — Paralelo a generatriz

⌛ Hipérbola — Corta ambas hojas

Imagina las curvas:

• La circunferencia es como una rueda perfecta: todos los puntos a igual distancia del centro.
• La elipse es un círculo estirado: si atas una cuerda a dos estacas y la mantienes tensa con un lápiz, dibujas una elipse.
• La parábola es la trayectoria de un proyectil: los rayos paralelos al eje se reflejan todos en el foco.
• La hipérbola tiene dos ramas que se acercan indefinidamente a sus asíntotas sin tocarlas nunca.

Cambiar $a$, $b$, $p$ o $r$ en las ecuaciones es como ajustar los mandos de una máquina: la curva se estira, se encoge o se desplaza por el plano. Más adelante, al final de la página, encontrarás una animación interactiva donde puedes jugar con estos parámetros y ver cómo cambia cada cónica en tiempo real.

🌍 En la vida real: Órbitas planetarias

Los planetas orbitan el Sol en elipses (1ª ley de Kepler). Los cometas de largo período siguen trayectorias que pueden ser parábolas o hipérbolas. Cada lanzamiento de un satélite usa la ecuación de la elipse para calcular la ventana de transferencia orbital.

🌍 En la vida real: Faros, antenas y telescopios

Los faros de los coches usan espejos parabólicos para reflejar la luz de la bombilla (situada en el foco) en un haz paralelo. Las antenas parabólicas hacen lo inverso: concentran ondas paralelas entrantes en el receptor situado en el foco.

🌍 En la vida real: Litotricia renal

Un litotritor usa un reflector elíptico: el paciente se coloca de modo que el cálculo renal esté en un foco de la elipse y el generador de ondas de choque en el otro. Todas las ondas emitidas convergen exactamente sobre el cálculo, pulverizándolo sin dañar el tejido circundante.

🎯 Objetivo

Clasificar cónicas a partir de su ecuación y hallar todos sus elementos.

📖 Definición geométrica común

Una cónica es el lugar geométrico de puntos que cumplen una relación de distancias entre un foco y una directriz.

Alternativamente: intersección de un cono circular recto con un plano que no pasa por el vértice.

Las cuatro cónicas no degeneradas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.

📊 Comparativa de las 4 cónicas

	⭕ Circunferencia	🥚 Elipse	〰️ Parábola	⌛ Hipérbola
Definición	$d(P,C) = r$	$d(P,F_1) + d(P,F_2) = 2a$	$d(P,F) = d(P,d)$	$
Ecuación canónica	$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$(x-x_0)^2=4p(y-y_0)$	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
Excentricidad	$e = 0$	$0 < e < 1$	$e = 1$	$e > 1$
Focos	1 (centro)	2	1	2
Asíntotas	No	No	No	Sí

📖 Circunferencia

Lugar de puntos que equidistan de un centro $C = (x_0, y_0)$. La distancia constante es el radio $r$.

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$

Desarrollando → ecuación general: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$.

💡 Como una rueda perfecta: todos los puntos a la misma distancia del centro.

📖 Elipse

La suma de distancias a dos focos $F_1, F_2$ es constante ($2a$).

Ecuación canónica (centro en origen, eje mayor horizontal)

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Elementos:

• Centro: punto medio entre focos
• Semieje mayor: $a$
• Semieje menor: $b$
• Focos: $(\pm c, 0)$ con $c^2 = a^2 - b^2$

Excentricidad: $e = \frac{c}{a}$, $0 \leq e < 1$. $e = 0$ → circunferencia. $e \to 1$ → muy alargada.

💡 Dibújala: Ata una cuerda a dos estacas (focos). Mantén la cuerda tensa con un lápiz y dibuja. Obtienes una elipse. ¿Lo ves? Esa es la magia de la geometría.

📖 Hipérbola

La diferencia (en valor absoluto) de distancias a dos focos es constante ($2a$).

Ecuación canónica (centro en origen, eje transversal horizontal)

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Elementos:

• Focos: $(\pm c, 0)$ con $c^2 = a^2 + b^2$
• Vértices: $(\pm a, 0)$
• Asíntotas: $y = \pm\frac{b}{a}x$
• Excentricidad: $e = \frac{c}{a} > 1$

💡 Asíntotas: Las ramas se acercan indefinidamente a las rectas $y = \pm\frac{b}{a}x$ sin tocarlas nunca. Como dos imanes que se repelen pero nunca se tocan.

📖 Hipérbola equilátera

Caso particular: $a = b$. La ecuación canónica es:

$x^2 - y^2 = a^2 \qquad \text{ó} \qquad \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$

Propiedades:

• Las asíntotas son las rectas $y = \pm x$ (bisectrices de los cuadrantes), perpendiculares entre sí.
• Excentricidad: $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{2a^2}}{a} = \sqrt{2}$ (constante para toda hipérbola equilátera).
• Si se gira $45^\circ$, la ecuación toma la forma $xy = k$ (hipérbola equilátera referida a sus asíntotas).

💡 La hipérbola equilátera $xy = 1$ aparece en física como la gráfica de la ley de Boyle-Mariotte ($PV = \text{cte}$) para gases ideales a temperatura constante.

📖 Parábola

Cada punto equidista de un foco $F$ y una directriz $d$.

Ecuación canónica (vértice $(x_0, y_0)$, eje vertical)

$(x - x_0)^2 = 4p\,(y - y_0)$

Elementos:

• Vértice: $V = (x_0, y_0)$
• Foco: $F = (x_0, y_0 + p)$ (abre ↑)
• Directriz: $y = y_0 - p$
• $p$: distancia vértice-foco
• Excentricidad: $e = 1$

Variantes: Abre a la derecha: $(y - y_0)^2 = 4p\,(x - x_0)$

Abre hacia abajo: $(x - x_0)^2 = -4p\,(y - y_0)$

Parábola horizontal (eje horizontal)

Cuando el eje es paralelo al eje $X$:

$(y - y_0)^2 = 4p\,(x - x_0)$

Elementos (abre a la derecha, $p > 0$):

• Vértice: $V = (x_0, y_0)$
• Foco: $F = (x_0 + p, y_0)$
• Directriz: $x = x_0 - p$

Si $p < 0$, abre a la izquierda: $(y - y_0)^2 = 4p(x - x_0)$ con $F = (x_0 + p, y_0)$ y directriz $x = x_0 - p$.

💡 En general, el cuadrado va en la variable perpendicular al eje. Si la variable al cuadrado es $x$, el eje es vertical (abre ↑ o ↓). Si la variable al cuadrado es $y$, el eje es horizontal (abre → o ←).

💡 Pelota lanzada: La trayectoria de un proyectil es una parábola. Los rayos paralelos al eje se reflejan todos en el foco (por eso las antenas parabólicas funcionan). ¡Física y geometría de la mano!

🔑 Concepto clave

La excentricidad $e$ es el identificador universal de cónicas:

• $e = 0$ → circunferencia
• $0 < e < 1$ → elipse
• $e = 1$ → parábola
• $e > 1$ → hipérbola

Para clasificar una cónica desde su ecuación general, completa cuadrados en $x$ e $y$ y reduce a la forma canónica. La relación entre los coeficientes de $x^2$ e $y^2$ revela el tipo: mismo signo e igual magnitud → circunferencia; mismo signo y distinta magnitud → elipse; signos opuestos → hipérbola; solo una variable al cuadrado → parábola. Fácil, ¿no?

✏️ Ejemplo Resuelto 1 Identifica y describe la cónica: $4x^2 + 9y^2 - 16x + 18y - 11 = 0$.

Agrupamos $x$ e $y$:

$(4x^2 - 16x) + (9y^2 + 18y) = 11$

Completamos cuadrados:

$4(x^2 - 4x + 4) + 9(y^2 + 2y + 1) = 11 + 16 + 9$ $4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 36$

Dividimos entre $36$:

$\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$

→ Elipse centrada en $(2, -1)$.

✅ Elementos

• Centro: $(2, -1)$
• $a = 3$ (horizontal), $b = 2$ (vertical)
• $c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$
• Focos: $(2 \pm \sqrt{5},\; -1)$
• Vértices: $(2 \pm 3, -1)$ y $(2, -1 \pm 2)$

✏️ Ejemplo Resuelto 2 Determina si $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ es una circunferencia.

Completamos cuadrados:

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4$ $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Como $r^2 = 25 > 0$, sí es una circunferencia real.

✅ Elementos

• Centro: $C = (3, -2)$
• Radio: $r = 5$

Si $r^2 = 0$ → punto (degenerada). Si $r^2 < 0$ → no representa lugar geométrico real.

🔥 Ejercicio Propuesto 1 Clasifica y halla los elementos de: $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$.

🔥 Ejercicio Propuesto 2 Halla la ecuación de la parábola con vértice en $(2, -1)$ y foco en $(2, 1)$. Determina la directriz.

🔥 Ejercicio Propuesto 3 Halla la ecuación de la parábola horizontal con vértice en $(-1, 3)$ y foco en $(2, 3)$. Determina la directriz.

🔥 Ejercicio Propuesto 4: Ecuación de la circunferencia

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro $(-1,5)$ y radio $3$.

📝 Ver solución

La ecuación canónica de la circunferencia con centro $(x_0, y_0)$ y radio $r$ es:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$

Sustituyendo $x_0 = -1$, $y_0 = 5$, $r = 3$:

$(x - (-1))^2 + (y - 5)^2 = 3^2$

✅ Resultado

$(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 9$

🔥 Ejercicio Propuesto 5: Centro de una circunferencia que pasa por tres puntos

Calcular el centro de la circunferencia que pasa por $(0,0)$, $(1,2)$ y $(6,3)$.

📝 Ver solución

Ecuación general de la circunferencia: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$.

Sustituimos cada punto:

$(0,0)$: $0 + 0 + 0 + 0 + F = 0 \implies F = 0$

$(1,2)$: $1 + 4 + D + 2E + 0 = 0 \implies D + 2E = -5$

$(6,3)$: $36 + 9 + 6D + 3E + 0 = 0 \implies 6D + 3E = -45$

Sistema: $\begin{cases} D + 2E = -5 \\ 6D + 3E = -45 \end{cases}$

De la 1ª: $D = -5 - 2E$. Sustituimos en la 2ª: $6(-5 - 2E) + 3E = -45 \implies -30 - 12E + 3E = -45 \implies -9E = -15 \implies E = \frac{5}{3}$

$D = -5 - 2\left(\frac{5}{3}\right) = -5 - \frac{10}{3} = -\frac{25}{3}$

El centro es $C = \left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$:

$C = \left(\frac{25}{6}, -\frac{5}{6}\right)$

✅ Resultado: Centro $\left(\dfrac{25}{6}, -\dfrac{5}{6}\right)$

🔥 Ejercicio Propuesto 6: Eje de simetría y vértice de una parábola

Calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola $-y^2 - 4y - 2 = x$.

📝 Ver solución

La ecuación es $x = -y^2 - 4y - 2$. Es una parábola horizontal (la variable al cuadrado es $y$).

Completamos cuadrados en $y$: $x = -(y^2 + 4y) - 2$ $x = -(y^2 + 4y + 4 - 4) - 2$ $x = -((y + 2)^2 - 4) - 2$ $x = -(y + 2)^2 + 4 - 2$ $x = -(y + 2)^2 + 2$

Forma canónica: $x - 2 = -(y + 2)^2$, es decir $(y + 2)^2 = -(x - 2)$.

Comparando con $(y - y_0)^2 = 4p(x - x_0)$:

• Vértice: $(x_0, y_0) = (2, -2)$
• $4p = -1 \implies p = -1/4$ (abre hacia la izquierda)

✅ Resultado

• Eje de simetría: $y = -2$
• Vértice: $(2, -2)$

🔥 Ejercicio Propuesto 7: Clasificar una cónica

Clasificar la cónica $(x-y)(x+y) = 1$.

📝 Ver solución

Desarrollamos el producto: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$

La ecuación es: $x^2 - y^2 = 1$

Dividiendo entre $1$: $\dfrac{x^2}{1} - \dfrac{y^2}{1} = 1$.

Es de la forma $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ con $a = b = 1$.

✅ Resultado: Hipérbola equilátera

• Centro: $(0, 0)$
• $a = b = 1$
• Asíntotas: $y = \pm x$ (bisectrices de los cuadrantes)
• Excentricidad: $e = \sqrt{2}$

📋 Resumen

Has aprendido a identificar, clasificar y describir las cuatro cónicas. Aquí tienes lo fundamental:

Recuerda: las cónicas están por todas partes en la naturaleza y la tecnología. Desde la órbita de la Tierra hasta el diseño de una linterna, dominarlas te da una lente nueva para ver el mundo. ¡Y ahora tú también sabes manejarlas!