Rectas y Planos

📐 Rectas y Planos

💡 Intuición Una recta necesita solo dos ingredientes:

1. Un punto por el que pase ($P_0$).
2. Una dirección (vector $\vec{v}$).

Analogía del tren: El tren está en la estación $P_0$ y avanza en dirección $\vec{v}$. En cada instante $\lambda$, su posición es:

$\text{posición} = P_0 + \lambda \cdot \vec{v}$

$\lambda = 0$ → estás en la estación. $\lambda > 0$ → avanzas. $\lambda < 0$ → retrocedes. ¡Vamos!

Visualiza los puntos: Para $P_0 = (2,1)$ y $\vec{v} = (1,2)$, al variar $\lambda$ obtienes: $\lambda = 0 \to (2,1)$, $\lambda = 1 \to (3,3)$, $\lambda = 2 \to (4,5)$, $\lambda = -1 \to (1,-1)$. Todos estos puntos están alineados sobre la misma recta.

Un plano en $\mathbb{R}^3$ es como una hoja de papel infinita. Se define con un punto $P_0$ y dos vectores directores no paralelos, o bien un vector normal (perpendicular).

¿Por qué tantas formas? Todas son equivalentes. La vectorial es la más compacta; la explícita ($y = mx + b$) es la más visual; la paramétrica es la más práctica para cálculos. Según el problema, una es más útil que otra. Fácil, ¿no?

🌍 En la vida real: Triangulación GPS

Cada satélite GPS emite una señal que define una esfera de posibles posiciones. Tu receptor resuelve la intersección de al menos 3 esferas (trilateración), reduciendo el problema a la intersección de rectas y planos en $\mathbb{R}^3$.

🌍 En la vida real: Ray tracing en videojuegos

Cada rayo de luz en una escena 3D es una recta paramétrica $P = P_0 + \lambda \vec{v}$. El motor gráfico calcula la intersección de millones de rayos con planos (triángulos de la escena) para determinar qué ves en cada píxel, 60 veces por segundo.

🌍 En la vida real: Diseño CAD y arquitectura

AutoCAD y software BIM modelan edificios enteros como colecciones de rectas y planos. La intersección de un plano de corte con el modelo 3D genera las secciones y alzados que ve el arquitecto.

🎯 Objetivo

Manejar todas las formas de ecuaciones y determinar posiciones relativas.

📖 La recta en $\mathbb{R}^2$

Con punto $P_0 = (x_0, y_0)$ y vector director $\vec{v} = (v_1, v_2) \neq \vec{0}$:

Forma	Ecuación
Vectorial	$(x, y) = (x_0, y_0) + \lambda (v_1, v_2)$
Paramétricas	$\begin{cases} x = x_0 + \lambda v_1 \\ y = y_0 + \lambda v_2 \end{cases}$
Continua	$\dfrac{x - x_0}{v_1} = \dfrac{y - y_0}{v_2}$
General	$Ax + By + C = 0$
Explícita	$y = mx + b$
Punto-pendiente	$y - y_0 = m(x - x_0)$

Donde $\vec{n} = (A, B)$ es un vector normal, $m = \dfrac{v_2}{v_1}$ es la pendiente, $b$ la ordenada en el origen.

🔄 Flujo de conversión entre formas

De	A	Operación
Vectorial	Paramétricas	Separar componentes
Paramétricas	Continua	Despejar $\lambda$ e igualar
Continua	General	Multiplicar en cruz y pasar todo
General	Explícita	Despejar $y$
Punto-pendiente	Explícita	Despejar $y$
Dos puntos	Vectorial	$\vec{v} = \overrightarrow{P_1P_2}$

📐 La pendiente

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

• Paralelas: $m_1 = m_2$
• Perpendiculares: $m_1 \cdot m_2 = -1 \iff m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$

📖 La recta en $\mathbb{R}^3$

Con $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$:

Forma	Ecuación
Vectorial	$(x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + \lambda (v_1, v_2, v_3)$
Paramétricas	$\begin{cases} x = x_0 + \lambda v_1 \\ y = y_0 + \lambda v_2 \\ z = z_0 + \lambda v_3 \end{cases}$
Continua	$\dfrac{x - x_0}{v_1} = \dfrac{y - y_0}{v_2} = \dfrac{z - z_0}{v_3}$

En $\mathbb{R}^3$ una recta no puede darse con una sola ecuación cartesiana; necesita la intersección de dos planos.

📖 El plano en $\mathbb{R}^3$

Con punto $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$ y vectores directores $\vec{u}, \vec{v}$ (no paralelos):

Forma	Ecuación
Vectorial	$(x, y, z) = P_0 + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$
Paramétricas	$\begin{cases} x = x_0 + \lambda u_1 + \mu v_1 \\ y = y_0 + \lambda u_2 + \mu v_2 \\ z = z_0 + \lambda u_3 + \mu v_3 \end{cases}$
General	$Ax + By + Cz + D = 0$

El vector normal es $\vec{n} = (A, B, C) = \vec{u} \times \vec{v}$.

📖 Posiciones relativas

Objetos	Posiciones posibles
2 rectas en $\mathbb{R}^2$	✦ Secantes, ∥ Paralelas, ≡ Coincidentes
2 rectas en $\mathbb{R}^3$	✦ Secantes, ∥ Paralelas, ≡ Coincidentes, ✕ Se cruzan
Recta y plano en $\mathbb{R}^3$	✦ Secantes (1 punto), ∥ Paralelos, ⊂ Recta contenida
2 planos en $\mathbb{R}^3$	✦ Secantes (en una recta), ∥ Paralelos, ≡ Coincidentes

💡 En $\mathbb{R}^3$ aparece un caso nuevo: dos rectas pueden cruzarse sin cortarse ni ser paralelas (como dos calles a distinta altura que nunca se tocan).

🔑 Concepto clave Toda recta necesita un punto y una dirección. Toda variedad lineal se escribe como:

$\text{variedad} = \text{punto base} + \text{combinación lineal de vectores directores}$

En $\mathbb{R}^2$ una recta tiene 1 vector director (1 parámetro $\lambda$). En $\mathbb{R}^3$ una recta tiene 1 vector director (1 parámetro) y un plano tiene 2 vectores directores (2 parámetros $\lambda, \mu$).

Dos rectas en $\mathbb{R}^3$ pueden cruzarse sin ser paralelas ni cortarse. Para distinguir todos los casos: compara vectores directores y verifica si un punto de una pertenece a la otra.

✏️ Ejemplo Resuelto 1 Hallar todas las ecuaciones de la recta en $\mathbb{R}^2$ que pasa por $A = (1, -2)$ y $B = (4, 3)$.

Vector director: $\vec{v} = \overrightarrow{AB} = (4 - 1, 3 - (-2)) = (3, 5)$

Pendiente: $m = \dfrac{5}{3}$

• Vectorial: $(x, y) = (1, -2) + \lambda (3, 5)$
• Paramétricas: $\begin{cases} x = 1 + 3\lambda \\ y = -2 + 5\lambda \end{cases}$
• Continua: $\dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y + 2}{5}$
• Punto-pendiente: $y + 2 = \dfrac{5}{3}(x - 1)$
• Explícita: $y = \dfrac{5}{3}x - \dfrac{11}{3}$
• General: $5x - 3y - 11 = 0$

¡Eso es todo! A partir de dos puntos tienes las 6 formas de la misma recta. ¿Lo ves? Solo necesitas el vector director y un punto, y luego vas transformando de una forma a otra.

✏️ Ejemplo Resuelto 2 Hallar la ecuación del plano que pasa por $A = (1, 2, 1)$, $B = (2, 0, 3)$ y $C = (0, 1, -1)$.

Vectores directores:

$\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (1, -2, 2)$ $\vec{v} = \overrightarrow{AC} = (-1, -1, -2)$

Vector normal:

$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ -1 & -1 & -2 \end{vmatrix} = (6, 0, -3)$

Simplificando: $\vec{n} = (2, 0, -1)$.

Ecuación con $A(1, 2, 1)$:

$2(x - 1) + 0(y - 2) + (-1)(z - 1) = 0$ $2x - 2 - z + 1 = 0$

✅ Resultado

$2x - z = 1$

Verificación: $B(2,0,3)$: $4 - 3 = 1$ ✓. $C(0,1,-1)$: $0 - (-1) = 1$ ✓.

🔥 Ejercicio Propuesto 1 Halla todas las ecuaciones de la recta que pasa por $P = (-1, 3)$ y tiene pendiente $m = -2$.

🔥 Ejercicio Propuesto 2 Determina la posición relativa de:

$r_1: \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y + 1}{3} = \dfrac{z}{-1}$

$r_2: \dfrac{x + 2}{-4} = \dfrac{y - 2}{-6} = \dfrac{z - 1}{2}$

🔥 Ejercicio Propuesto 3 Estudia la posición relativa de la recta y el plano:

$r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+1}{-1} = \dfrac{z-2}{3}, \qquad \pi: x - y + z - 2 = 0$

🔥 Ejercicio Propuesto 4: Ecuaciones de la recta en $\mathbb{R}^2$

Escribir las expresiones de la recta que pasa por $(1,3)$ y $(2,2)$ en todas sus formas, y obtener la recta perpendicular que pasa por $(1,1)$.

📝 Ver solución

Recta que pasa por $(1,3)$ y $(2,2)$:

Vector director: $\vec{v} = (2-1, 2-3) = (1, -1)$.

Pendiente: $m = \dfrac{-1}{1} = -1$.

• Vectorial: $(x, y) = (1, 3) + \lambda(1, -1)$
• Paramétricas: $\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 3 - \lambda \end{cases}$
• Continua: $\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y - 3}{-1}$, es decir $x - 1 = 3 - y$
• Punto-pendiente: $y - 3 = -1(x - 1)$
• Explícita: $y = -x + 4$
• General: $x + y - 4 = 0$

Recta perpendicular que pasa por $(1,1)$:

Pendiente de la perpendicular: $m_{\perp} = -\dfrac{1}{-1} = 1$.

Ecuación punto-pendiente: $y - 1 = 1(x - 1)$

• Explícita: $y = x$
• General: $x - y = 0$

📋 Resumen

Has aprendido a escribir rectas y planos en todas sus formas y a analizar cómo se relacionan entre sí. Aquí tienes lo fundamental:

Recuerda: punto + dirección = variedad lineal. Esa fórmula universal te sirve para rectas en 2D, rectas en 3D y planos. La diferencia está en cuántos vectores directores necesitas (1 o 2) y en qué espacio trabajas.