Polinomios

🧩 Polinomios

💡 Intuición Imagina una máquina: le metes un número por la entrada y te devuelve otro por la salida. Si introduces $x = 2$ y la máquina calcula $x^2 + 3x - 5$, obtienes $4 + 6 - 5 = 5$.

Un polinomio es esa máquina: una expresión hecha de potencias enteras no negativas de una variable, cada una multiplicada por un número.

Visualmente, su gráfica es una curva suave sin saltos. Las raíces son los puntos donde la curva atraviesa el eje $X$.

Más abajo encontrarás un gráfico interactivo donde puedes mover el ratón sobre la curva y ver los valores exactos de $P(x)$ en cada punto.

Analogía LEGO: Cada término $a_k x^k$ es una pieza. El polinomio es la construcción completa. El grado te dice cuál es la pieza más alta de todas.

🌍 En la vida real: Curvas de Bézier

Las curvas que dibujan las fuentes tipográficas que estás leyendo y los trazados vectoriales en Illustrator son polinomios de Bézier. Cada letra de este texto es una colección de polinomios cúbicos.

Machine Learning

La regresión polinómica ajusta curvas a datos para hacer predicciones. Los modelos de previsión meteorológica y de tendencias de mercado usan polinomios para extrapolar patrones.

Criptografía

Los polinomios sobre cuerpos finitos $\mathbb{Z}_p$ son la base de AES y de los esquemas de compromiso criptográfico que protegen tus mensajes de WhatsApp y las transacciones bancarias.

🎯 Objetivo: Entender qué es un polinomio

Aprenderás a identificarlos, operar con ellos, factorizarlos y descomponer fracciones algebraicas.

📖 Definición de polinomio

Un polinomio en una variable $x$ con coeficientes reales es:

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

Donde:

• $n \in \mathbb{N}_0$ es el grado (si $a_n \neq 0$)
• $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 \in \mathbb{R}$ son los coeficientes
• $a_0$ = término independiente
• $a_n$ = coeficiente principal

Un monomio es un polinomio de un solo término: $a_k x^k$. Dos polinomios son iguales si y solo si tienen los mismos coeficientes para cada potencia de $x$.

Grado	Nombre	Ejemplo	Forma
$0$	Constante	$P(x) = 5$	$a_0$
$1$	Lineal	$P(x) = 2x - 3$	$ax + b$
$2$	Cuadrático	$P(x) = x^2 + 4x + 1$	$ax^2 + bx + c$
$3$	Cúbico	$P(x) = x^3 - 2x$	$ax^3 + bx^2 + cx + d$
$4$	Cuártico	$P(x) = x^4 - 1$	$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$

📖 Raíces de un polinomio

Un número real (o complejo) $a$ es raíz de $P(x)$ si:

$P(a) = 0$

Teorema del Factor: $a$ es raíz de $P(x)$ si y solo si $(x - a)$ es divisor de $P(x)$:

$P(x) = (x - a) \cdot Q(x)$

Teorema Fundamental del Álgebra: Un polinomio de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces en $\mathbb{C}$ (contando multiplicidades).

📖 Operaciones con polinomios

➕ Suma

Se suman los coeficientes del mismo grado:

$(P+Q)(x) = P(x) + Q(x)$

✖️ Producto

Cada término de $P$ multiplica cada término de $Q$:

$(P \cdot Q)(x) = P(x) \cdot Q(x)$

➗ División

$P(x) = D(x) \cdot C(x) + R(x)$

con $\text{grado}(R) < \text{grado}(D)$.

📖 Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini divide un polinomio $P(x)$ entre $(x - a)$ de forma abreviada.

Se construye una tabla con los coeficientes de $P(x)$: se baja el primer coeficiente y se realizan iterativamente multiplicaciones por $a$ y sumas.

Si el último número de la tabla (el resto) es 0, entonces $a$ es raíz y $(x - a)$ divide exactamente.

Ejemplo: $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ dividido entre $(x + 1)$:

	x³	x²	x¹	T.I.
−1	1	2	−5	−6
	↓	−1	−1	6
	1	1	−6	0 ✓

Resto = 0 → $(x+1)$ es factor. Cociente: $x^2 + x - 6$.
$P(x) = (x+1)(x^2+x-6) = (x+1)(x-2)(x+3)$

📖 Factorización de polinomios

Todo polinomio con coeficientes reales puede factorizarse como:

$P(x) = a_n (x - r_1)(x - r_2)\cdots(x - r_k)$

Donde $r_1, r_2, \ldots, r_k$ son las raíces reales y complejas.

🧪 Receta para factorizar

Paso 1: Lista los divisores del término independiente divididos por los divisores del coeficiente principal.

Paso 2: Prueba cada candidato evaluando $P(x)$. Si $P(r) = 0$, es raíz.

Paso 3: Aplica Ruffini con la raíz encontrada para reducir el grado.

Paso 4: Repite hasta llegar a grado 2 y resuelve con la fórmula cuadrática.

📖 Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es un cociente $\frac{P(x)}{Q(x)}$.

Cuando el grado del numerador es menor que el del denominador, es propia; si no, es impropia y hay que dividir primero.

La descomposición en fracciones simples la expresa como suma de fracciones más sencillas:

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} + \frac{C}{(x-b)^2}$

📖 Operaciones con fracciones algebraicas

➕ Suma y resta

Se reduce a común denominador. Si los denominadores no tienen factores comunes, el común denominador es el producto:

$\frac{A(x)}{B(x)} \pm \frac{C(x)}{D(x)} = \frac{A(x)D(x) \pm C(x)B(x)}{B(x)D(x)}$

Si tienen factores comunes, se usa el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.

✖️ Producto

$\frac{A(x)}{B(x)} \cdot \frac{C(x)}{D(x)} = \frac{A(x) \cdot C(x)}{B(x) \cdot D(x)}$

➗ Cociente

$\frac{A(x)}{B(x)} \div \frac{C(x)}{D(x)} = \frac{A(x)}{B(x)} \cdot \frac{D(x)}{C(x)} = \frac{A(x)D(x)}{B(x)C(x)}$

✂️ Simplificación

Si numerador y denominador comparten un factor, puede cancelarse:

$\frac{P(x) \cdot Q(x)}{P(x) \cdot R(x)} = \frac{Q(x)}{R(x)}, \quad \text{si } P(x) \neq 0$

⚠️ Atención al dominio: Al simplificar, los valores que anulan el factor cancelado quedan excluidos del dominio (son discontinuidades evitables).

✏️ Ejemplo Resuelto 3 Simplificar y luego sumar: $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2} + \dfrac{3}{x + 1}$

Paso 1: Factorizamos todo. Numerador: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Denominador: $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$.

Primera fracción: $\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} = \dfrac{x+2}{x+1}$, para $x \neq 2$.

Paso 2: Sumamos con denominador común $x+1$:

$\frac{x+2}{x+1} + \frac{3}{x+1} = \frac{(x+2) + 3}{x+1} = \frac{x+5}{x+1}$

✅ Resultado

$\frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2} + \frac{3}{x + 1} = \frac{x+5}{x+1}, \quad x \neq 2, \; x \neq -1$

🔥 Ejercicio Propuesto 3 Realiza la operación y simplifica: $\dfrac{x}{x-1} - \dfrac{x}{x+1} + \dfrac{2}{x^2-1}$

🔑 Concepto clave El grado real de un polinomio lo determina el término con mayor exponente cuyo coeficiente no sea cero. Las raíces son los valores de $x$ que anulan el polinomio y revelan su estructura de factores.

Para factorizar: encuentra una raíz por tanteo racional, aplica Ruffini para bajar el grado y repite hasta llegar a grado 2 donde puedes usar la fórmula cuadrática.

✏️ Ejemplo Resuelto 1 Factorizar $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$.

Paso 1: Buscamos raíces racionales. Divisores de $-6$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Probamos $x = 1$: $P(1) = 1 + 2 - 5 - 6 = -8 \neq 0$

Paso 2: Probamos $x = -1$: $P(-1) = -1 + 2 + 5 - 6 = 0 \quad \checkmark$. $x = -1$ es raíz.

Paso 3: Ruffini con $a = -1$ y coeficientes $1, 2, -5, -6$:

	1	2	-5	-6
$-1$		-1	-1	6
	1	1	-6	0

Obtenemos $Q(x) = x^2 + x - 6$ y resto $0$.

Paso 4: Factorizamos $x^2 + x - 6$:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} = \{2, -3\}$

✅ Resultado

$P(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3)$

✏️ Ejemplo Resuelto 2 Descomponer en fracciones simples: $\dfrac{5x + 7}{x^2 + 2x - 3}$

Paso 1: Factorizamos el denominador: $x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$

Paso 2: Planteamos: $\dfrac{5x + 7}{(x+3)(x-1)} = \dfrac{A}{x+3} + \dfrac{B}{x-1}$

Paso 3: Igualamos numeradores:

$5x + 7 = A(x - 1) + B(x + 3)$ $5x + 7 = (A+B)x + (-A + 3B)$

Sistema: $\begin{cases} A + B = 5 \\ -A + 3B = 7 \end{cases}$

Sumando: $4B = 12 \implies B = 3$, luego $A = 2$.

✅ Resultado

$\frac{5x + 7}{x^2 + 2x - 3} = \frac{2}{x+3} + \frac{3}{x-1}$

🔥 Ejercicio Propuesto 1 Factoriza $P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$.

🔥 Ejercicio Propuesto 2 Halla las raíces y factoriza $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$.

🔥 Ejercicio Propuesto 4: Grado de un polinomio

Calcular el grado de $2x^3 + x^4 - x + 4 - x^3 - x(x^3 - 2)$.

📝 Ver solución

Simplificamos paso a paso:

$2x^3 + x^4 - x + 4 - x^3 - x(x^3 - 2)$ $= 2x^3 + x^4 - x + 4 - x^3 - x^4 + 2x$ $= (x^4 - x^4) + (2x^3 - x^3) + (-x + 2x) + 4$ $= x^3 + x + 4$

El término de mayor exponente es $x^3$, con coeficiente $1 \neq 0$.

✅ Resultado: Grado 3

🔥 Ejercicio Propuesto 5: Factorización de identidades notables

Factorizar $x^2 - a^2$, $x^2 + 2ax + a^2$ y $x^2 - 2ax + a^2$.

📝 Ver solución

Son las tres identidades notables básicas:

• $x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)$ (diferencia de cuadrados)
• $x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2$ (cuadrado de una suma)
• $x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2$ (cuadrado de una diferencia)

🔥 Ejercicio Propuesto 6: Suma de fracciones algebraicas

Calcular la suma $\dfrac{x}{x-2} + \dfrac{1}{x-3} + \dfrac{2}{(x-2)^2}$.

📝 Ver solución

El común denominador es $(x-2)^2(x-3)$:

$\frac{x(x-2)(x-3)}{(x-2)^2(x-3)} + \frac{(x-2)^2}{(x-2)^2(x-3)} + \frac{2(x-3)}{(x-2)^2(x-3)}$

Numerador: $x(x-2)(x-3) + (x-2)^2 + 2(x-3)$ $= x(x^2 - 5x + 6) + (x^2 - 4x + 4) + (2x - 6)$ $= x^3 - 5x^2 + 6x + x^2 - 4x + 4 + 2x - 6$ $= x^3 - 4x^2 + 4x - 2$

✅ Resultado

$\frac{x^3 - 4x^2 + 4x - 2}{(x-2)^2(x-3)}$

🔥 Ejercicio Propuesto 7: División de polinomios

Calcular la división $\dfrac{x^2 - 4x + 5}{x-2}$.

📝 Ver solución

Expresamos el numerador en términos de $(x-2)$:

$x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1$

Verificación: $(x-2)^2 + 1 = x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 5$ ✓

Entonces:

$\frac{x^2 - 4x + 5}{x-2} = \frac{(x-2)^2 + 1}{x-2} = \frac{(x-2)^2}{x-2} + \frac{1}{x-2}$

✅ Resultado

$\frac{x^2 - 4x + 5}{x-2} = x-2 + \frac{1}{x-2}$

🔥 Ejercicio Propuesto 8: Raíces de un polinomio de grado 4

Hallar las raíces de $x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 11x - 6$.

📝 Ver solución

Probamos divisores de $-6$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

$P(1) = 1 - 3 - 3 + 11 - 6 = 0 \quad \checkmark$ → $x = 1$ es raíz.

Ruffini con $a = 1$ y coeficientes $1, -3, -3, 11, -6$:

	1	-3	-3	11	-6
$1$		1	-2	-5	6
	1	-2	-5	6	0

$Q(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$.

Probamos de nuevo $x = 1$ en $Q(x)$: $Q(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0 \quad \checkmark$ → $x = 1$ es raíz doble.

Ruffini con $a = 1$ sobre $1, -2, -5, 6$:

	1	-2	-5	6
$1$		1	-1	-6
	1	-1	-6	0

$R(x) = x^2 - x - 6$.

Raíces de $x^2 - x - 6$: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} = \{3, -2\}$

✅ Resultado

Raíces: $3$, $1$ (doble), $-2$.

Factorización: $P(x) = (x-3)(x-1)^2(x+2)$.