Ecuaciones e Inecuaciones

⚖️ Ecuaciones e Inecuaciones

📜 Un poco de historia

Las ecuaciones se remontan a Mesopotamia y Egipto, donde se resolvían problemas de reparto de tierras y herencias.

Diofanto de Alejandría (siglo III d.C.) introdujo la notación simbólica en su Arithmetica, ganándose el título de “padre del álgebra”. Las ecuaciones diofánticas llevan su nombre.

Las inecuaciones se consolidaron en los siglos XVII-XVIII con el cálculo infinitesimal y la necesidad de acotar magnitudes.

💡 Intuición Metáfora de la balanza: Una ecuación es una balanza en equilibrio. Lo que hagas en un lado, debes hacerlo en el otro. Una inecuación es una balanza desequilibrada: el signo $>$ , $<$ , $\geq$ o $\leq$ indica hacia qué lado se inclina.

En la recta real, una ecuación de primer grado te da un punto ( $x = a$ ). Una de segundo grado te da 0, 1 o 2 puntos (donde la parábola corta el eje $X$ ). Una inecuación te da todo un intervalo continuo. ¡Vamos!

Analogía: Resolver una ecuación es averiguar la combinación exacta de una caja fuerte. Resolver una inecuación es determinar el rango de combinaciones que la abren. Fácil, ¿no?

🌍 En la vida real: Google Maps

Cada vez que calculas una ruta, el algoritmo resuelve sistemas de ecuaciones para minimizar el tiempo de viaje entre miles de nodos del grafo vial. Es álgebra lineal en tiempo real.

🌍 En la vida real: Equilibrio químico

El balance de una reacción química como $2\text{H}_2 + \text{O}_2 \to 2\text{H}_2\text{O}$ se modela con ecuaciones lineales. Cada elemento debe tener el mismo número de átomos a ambos lados de la flecha.

🌍 En la vida real: Optimización de presupuestos

Las inecuaciones definen restricciones en problemas de optimización: “no gastar más de X”, “producir al menos Y”. La programación lineal usa inecuaciones para maximizar beneficios en logística y manufactura.

🎯 Objetivo

Dominarás desde la lineal hasta la bicuadrada, y aprenderás el método de intervalos para inecuaciones.

📖 ¿Ecuación o identidad?

Ecuación Identidad
¿Cuándo se cumple? Solo para ciertos valores Para todos los valores
Ejemplo $x^2 - 4 = 0$ → solo $x = \pm 2$ $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ → siempre

	Ecuación	Identidad
¿Cuándo se cumple?	Solo para ciertos valores	Para todos los valores
Ejemplo	$x^2 - 4 = 0$ → solo $x = \pm 2$	$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ → siempre

📖 Ecuaciones de primer grado

$ax + b = 0, \quad a \neq 0$

Solución única: $x = -\dfrac{b}{a}$

🟢 Siempre tiene 1 solución real. En cuanto despejas la $x$ , ¡ya lo tienes!

📖 Ecuaciones de segundo grado

$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$

🧪 Fórmula cuadrática

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Donde $\Delta = b^2 - 4ac$ es el discriminante. Solo con verlo ya sabes cuántas soluciones tendrás:

🟢 $\Delta > 0$ → 2 soluciones reales distintas

🟡 $\Delta = 0$ → 1 solución real doble

🔴 $\Delta < 0$ → 0 soluciones reales (2 complejas conjugadas)

📖 Ecuaciones bicuadradas

$ax^4 + bx^2 + c = 0, \quad a \neq 0$

🧪 Algoritmo

Paso 1: Haz el cambio de variable $t = x^2$ (con $t \geq 0$ ).

Paso 2: Resuelve $at^2 + bt + c = 0$ .

Paso 3: Recupera $x = \pm\sqrt{t}$ (solo si $t \geq 0$ ).

¿Lo ves? Una ecuación de grado 4 que se resuelve como una de grado 2. Es un disfraz.

✏️ Ejemplo Resuelto: Bicuadrada Resolver $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Paso 1: Cambio $t = x^2$ (con $t \geq 0$ ): $t^2 - 13t + 36 = 0$ .

Paso 2: Resolvemos: $t = \dfrac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2} = \dfrac{13 \pm 5}{2} \implies t_1 = 9,\; t_2 = 4$ .

Ambas $t \geq 0$ , así que ambas son válidas.

Paso 3: $x = \pm\sqrt{9} = \pm 3$ y $x = \pm\sqrt{4} = \pm 2$ .

✅ Soluciones

$x \in \{-3, -2, 2, 3\}$

📖 Ecuaciones racionales e irracionales

Racional: contiene la incógnita en algún denominador. Multiplicas por el m.c.m. de los denominadores para eliminar fracciones. ⚠️ Hay que comprobar que las soluciones no anulen ningún denominador.

Irracional: contiene la incógnita bajo un radical. Aíslas la raíz y elevas ambos miembros al cuadrado. ⚠️ Hay que comprobar que las soluciones satisfagan la ecuación original (al elevar al cuadrado pueden introducirse soluciones extrañas).

Piensa en ello como limpiar la ecuación: quitas denominadores y raíces, pero luego verificas que no has roto nada.

✏️ Ejemplo Resuelto: Racional Resolver $\dfrac{2}{x-1} - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{3}{x^2-1}$

Paso 1: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ es el m.c.m. Multiplicamos todo:

$2(x+1) - 1(x-1) = 3$ $2x + 2 - x + 1 = 3$ $x + 3 = 3 \implies x = 0$

Paso 2: Comprobamos: $x=0$ no anula denominadores ( $0-1 \neq 0$ , $0+1 \neq 0$ ).

✅ Solución: $x = 0$

📖 Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad:

$P(x) < Q(x), \quad P(x) > Q(x), \quad P(x) \leq Q(x), \quad P(x) \geq Q(x)$

Resolverla es encontrar el conjunto de valores de $x$ que satisfacen la desigualdad.

⚠️ Cuidado: Al multiplicar o dividir por un número negativo, la desigualdad se invierte. ¡No se te olvide!

📖 Método de intervalos

🧪 Algoritmo paso a paso

Paso 1: Halla las raíces de $P(x) = 0$ .

Paso 2: Ordénalas de menor a mayor, dividiendo $\mathbb{R}$ en intervalos.

Paso 3: Toma un valor de prueba en cada intervalo y evalúa el signo.

Paso 4: Selecciona los intervalos que cumplen la desigualdad. Si es $\geq$ o $\leq$ , incluye las raíces. Si es $>$ o $<$ , exclúyelas.

🔑 Concepto clave

El discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ te revela de un vistazo la naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadrática. Para inecuaciones, el método de intervalos es universal: factoriza el polinomio, identifica las raíces y evalúa el signo en cada región.

Regla de oro: Multiplicar o dividir por un número negativo invierte la desigualdad.

✏️ Ejemplo Resuelto 1 Resolver: $x^3 + 4x^2 - x - 4 = 0$

Paso 1: Raíces racionales entre divisores de $-4$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ . Probamos $x = 1$ :

$P(1) = 1 + 4 - 1 - 4 = 0 \quad \checkmark$

Paso 2: Ruffini con $a = 1$ :

1 4 -1 -4
$1$ 1 5 4
1 5 4 0

Obtenemos $Q(x) = x^2 + 5x + 4$ .

	1	4	-1	-4
$1$		1	5	4
	1	5	4	0

Paso 3: $x^2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)$

✅ Soluciones

$x \in \{-4, -1, 1\}$

✏️ Ejemplo Resuelto 2 Resolver la inecuación: $x^3 + 4x^2 - x - 4 \geq 0$

Paso 1: Factorizamos: $P(x) = (x + 4)(x + 1)(x - 1)$

Paso 2: Raíces: $x = -4$ , $x = -1$ , $x = 1$ . Intervalos: $(-\infty, -4)$ , $(-4, -1)$ , $(-1, 1)$ , $(1, +\infty)$ .

Intervalo	Prueba	$x+4$	$x+1$	$x-1$	$P(x)$
$(-\infty, -4)$	$x=-5$	$-$	$-$	$-$	$-$
$(-4, -1)$	$x=-2$	$+$	$-$	$-$	$+$
$(-1, 1)$	$x=0$	$+$	$+$	$-$	$-$
$(1, +\infty)$	$x=2$	$+$	$+$	$+$	$+$

✅ Solución

$x \in [-4, -1] \cup [1, +\infty)$

(Incluimos las raíces porque la desigualdad es $\geq$ .)

🔥 Ejercicio Propuesto 1 Resuelve: $2x^2 - 3x - 2 = 0$

📝 Ver solución

Aplicamos la fórmula cuadrática con $a = 2$ , $b = -3$ , $c = -2$ :

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{8}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

✅ Soluciones

$x = 2, \quad x = -\frac{1}{2}$

Verificación: $2(2)^2 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$ ✓. $2(-\frac{1}{2})^2 - 3(-\frac{1}{2}) - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 = 0$ ✓.

🔥 Ejercicio Propuesto 2 Resuelve la inecuación: $x^2 - 5x + 6 < 0$

📝 Ver solución

Factorizamos: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ .

Raíces: $x = 2$ y $x = 3$ . Intervalos: $(-\infty, 2)$ , $(2, 3)$ , $(3, +\infty)$ .

Intervalo $x-2$ $x-3$ $P(x)$
$(-\infty, 2)$ $-$ $-$ $+$
$(2, 3)$ $+$ $-$ $-$
$(3, +\infty)$ $+$ $+$ $+$

✅ Solución

$x \in (2, 3)$

(Desigualdad estricta $<$ → raíces no incluidas.)

Intervalo	$x-2$	$x-3$	$P(x)$
$(-\infty, 2)$	$-$	$-$	$+$
$(2, 3)$	$+$	$-$	$-$
$(3, +\infty)$	$+$	$+$	$+$

🔥 Ejercicio Propuesto 3 Resuelve la ecuación bicuadrada: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

📝 Ver solución

Cambio $t = x^2$ ( $t \geq 0$ ): $t^2 - 5t + 4 = 0$ .

$t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \implies t_1 = 4,\; t_2 = 1$

Ambas $t \geq 0$ . Recuperamos $x = \pm\sqrt{t}$ :

$x = \pm\sqrt{4} = \pm 2, \quad x = \pm\sqrt{1} = \pm 1$

✅ Soluciones

$x \in \{-2, -1, 1, 2\}$

Verificación rápida: Para $x=2$ : $16 - 20 + 4 = 0$ ✓. Para $x=1$ : $1 - 5 + 4 = 0$ ✓.

🔥 Ejercicio Propuesto 4 Resuelve la ecuación racional: $\dfrac{1}{x-2} + \dfrac{3}{x+1} = \dfrac{5}{x^2-x-2}$

📝 Ver solución

Factorizamos el denominador: $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ .

Este es el m.c.m. Multiplicamos toda la ecuación por $(x-2)(x+1)$ :

$(x+1) + 3(x-2) = 5$ $x + 1 + 3x - 6 = 5$ $4x - 5 = 5 \implies 4x = 10 \implies x = \frac{5}{2}$

Comprobamos: para $x = \frac{5}{2}$ , los denominadores son $\frac{5}{2}-2 = \frac{1}{2} \neq 0$ y $\frac{5}{2}+1 = \frac{7}{2} \neq 0$ .

✅ Solución

$x = \frac{5}{2}$

🔥 Ejercicio Propuesto 5 Halla las raíces y factoriza: $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$

📝 Ver solución

Probamos divisores de $3$ : $\pm 1, \pm 3$ .

$P(1) = 1 - 3 - 1 + 3 = 0$ ✓. Ruffini con $a = 1$ :

1 -3 -1 3
$1$ 1 -2 -3
1 -2 -3 0

$Q(x) = x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$ .

Por tanto: $P(x) = (x-1)(x-3)(x+1)$ .

✅ Soluciones

$x \in \{-1, 1, 3\}$

	1	-3	-1	3
$1$		1	-2	-3
	1	-2	-3	0

📋 Resumen

Has aprendido a manejar las ecuaciones desde la más simple (primer grado) hasta las más complejas (bicuadradas, racionales, irracionales) y las inecuaciones con el método de intervalos. Aquí tienes lo fundamental:

Tema	¿Qué te llevas?
Primer grado	$ax + b = 0$ → $x = -b/a$ . Una balanza que equilibras despejando.
Segundo grado	El discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ es tu mejor amigo: te dice al instante cuántas soluciones reales hay.
Bicuadradas	Cambio $t = x^2$ y la de grado 4 se vuelve de grado 2. ¡Magia algebraica!
Racionales	Multiplicas por el m.c.m. y siempre compruebas que los denominadores no se anulen.
Irracionales	Aíslas la raíz, elevas al cuadrado y compruebas que no hay soluciones extrañas.
Inecuaciones	Factorizas, hallas raíces, evalúas signos en intervalos. La regla de oro: al multiplicar por un negativo, inviertes la desigualdad.

Recuerda: cada tipo de ecuación tiene su truco, pero todos comparten la misma lógica: simplificar paso a paso sin romper las reglas de la balanza.