Determinantes

📐 Determinantes

💡 Intuición El determinante es un único número que resume propiedades geométricas profundas de una matriz. ¡Vamos a verlo!

📐 En $\mathbb{R}^2$: Área — $|A|$ es el área con signo del paralelogramo formado por las columnas de $A$. Si $|A| = 0$, los vectores son colineales y el área colapsa a $0$.

📦 En $\mathbb{R}^3$: Volumen — $|A|$ es el volumen del paralelepípedo que forman las tres columnas.

Imagina la transformación: Si tomas una matriz $2 \times 2$ y la aplicas al cuadrado unitario (el cuadrado de vértices $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$), obtienes un paralelogramo. Las columnas de la matriz son exactamente los vectores que forman dos lados adyacentes de ese paralelogramo. Su área es $|A|$. Por ejemplo, las columnas $(3,0)$ y $(1,2)$ generan un paralelogramo de área $6$.

Signo: Positivo = la transformación preserva la orientación. Negativo = la invierte (efecto espejo).

Visualízalo: Aplica una matriz $2 \times 2$ al cuadrado unitario. Obtienes un paralelogramo cuya área es exactamente $|A|$. Con $|A| = 2$ duplicas el área; con $|A| = 0.5$ la reduces a la mitad; con $|A| = 0$ todo colapsa en un segmento. ¿Lo ves? ¡El determinante te dice cuánto “estira” o “encoge” la matriz!

🌍 En la vida real: El determinante jacobiano en robótica

El jacobiano convierte velocidades articulares en velocidades cartesianas del efector de un robot. Su determinante indica si el robot está en una configuración singular (sin capacidad de movimiento en cierta dirección).

🌍 En la vida real: Visión artificial y triangulación

En visión estéreo, dos cámaras observan el mismo punto 3D. El determinante de la matriz de proyección combinada determina si el punto se puede triangular con precisión. Si es cero, el punto está sobre la línea que une las cámaras y es irrecuperable.

🌍 En la vida real: Wronskiano en ecuaciones diferenciales

El determinante wronskiano verifica si un conjunto de soluciones de una ecuación diferencial son linealmente independientes. Se usa en ingeniería de control para comprobar la controlabilidad de sistemas dinámicos.

🎯 Objetivo y usarlos

Calcularás determinantes por Sarrus y por adjuntos, rangos por menores, e inversas por la matriz adjunta.

📖 Definición de determinante

Para una matriz cuadrada $A$ de orden $n$, el determinante $\det(A)$ o $|A|$ se define:

$n = 1$: $|(a_{11})| = a_{11}$

$n = 2$: $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

💡 Regla mnemotécnica $2 \times 2$: Multiplica la diagonal principal ↘ y réstale la otra diagonal ↙. Así de simple.

📖 Regla de Sarrus ($n = 3$)

🧪 Método visual: Sarrus

Repite las dos primeras columnas a la derecha. Suma los productos de las diagonales descendentes, resta los de las ascendentes:

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$ $$\begin{matrix} \text{↘} & a_{11}a_{22}a_{33} \\ \text{↘} & a_{21}a_{32}a_{13} \\ \text{↘} & a_{12}a_{23}a_{31} \end{matrix} \quad\;\;-\;\; \begin{matrix} \text{↙} & a_{13}a_{22}a_{31} \\ \text{↙} & a_{23}a_{32}a_{11} \\ \text{↙} & a_{21}a_{12}a_{33} \end{matrix}$$

📖 Desarrollo por adjuntos ($n > 3$)

Para cualquier fila $i$ fijada:

$|A| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot |M_{ij}|$

Donde $M_{ij}$ es la submatriz obtenida al eliminar la fila $i$ y columna $j$.

El adjunto (o cofactor) es: $A_{ij} = (-1)^{i+j}|M_{ij}|$

💡 Elige la fila o columna con más ceros para simplificar el cálculo. ¡Tu yo del futuro te lo agradecerá!

📝 Las 11 propiedades fundamentales

#	Propiedad
1	$
2	$
3	$
4	Intercambiar dos filas cambia el signo
5	Multiplicar una fila por $\lambda$ multiplica el determinante por $\lambda$
6	Si una fila es suma de vectores, el determinante se descompone en suma
7	Si una fila es combinación lineal de otras → $
8	Sumar a una fila un múltiplo de otra no altera el determinante
9	Una fila de ceros → $
10	$
11	Matriz triangular: determinante = producto de la diagonal

⚠️ Precaución: En general, $|A+B| \neq |A| + |B|$. El determinante NO es lineal respecto a la suma de matrices. Tampoco se cumple que $|\lambda A| = \lambda |A|$; la fórmula correcta es $|\lambda A| = \lambda^n |A|$ para una matriz $n \times n$.

📖 Rango por menores

El rango de $A$ es el mayor orden $r$ con algún menor (determinante de submatriz cuadrada) no nulo:

$\text{rg}(A) = r \iff \exists \text{ menor de orden } r \neq 0 \text{ y todo menor de orden } r+1 \text{ es nulo}$

📖 Matriz inversa por adjuntos

Si $|A| \neq 0$, la inversa es:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot [\text{Adj}(A)]^t$

La matriz adjunta $\text{Adj}(A)$ tiene por elementos:

$\text{Adj}(A)_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot |M_{ij}|$

🔑 Concepto clave El determinante es un interruptor binario: $|A| \neq 0$ significa que la matriz es invertible y sus columnas son linealmente independientes. $|A| = 0$ implica dependencia lineal y que la matriz es singular.

Interpretación geométrica: $|A|$ mide el factor de escala de áreas/volúmenes bajo la transformación definida por $A$. El determinante de una matriz $n \times n$ es exactamente el volumen $n$-dimensional del paralelepípedo formado por sus columnas. ¡Casi nada!

✏️ Ejemplo Resuelto 1 Calcular el determinante por Sarrus y por adjuntos de:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 5 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

🧪 Método 1: Sarrus

Repetimos las dos primeras columnas:

Diagonales descendentes ↘: $2 \cdot (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 4 \cdot 5 + 3 \cdot 0 \cdot 2 = 0 + 20 + 0 = 20$

Diagonales ascendentes ↙: $3 \cdot (-1) \cdot 5 + 2 \cdot 4 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 0 = -15 + 16 + 0 = 1$

$|A| = 20 - 1 = 19$

🧪 Método 2: Adjuntos (por la primera columna)

$|A| = 2 \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + 0 + 5 \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 4 \end{vmatrix}$ $= 2 \cdot (-8) + 5 \cdot (7) = -16 + 35 = 19$

✅ Ambos métodos coinciden: $|A| = 19$

✏️ Ejemplo Resuelto 2 Calcular $A^{-1}$ usando la matriz adjunta para $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$.

$|A| = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2 \neq 0$ → $A$ es invertible.

Adjuntos:

$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

Trasponemos y dividimos por $|A|$:

$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

✅ Verificación

$AA^{-1} = \begin{pmatrix} -2+3 & 1-1 \\ -6+6 & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$

🔥 Ejercicio Propuesto 1 Calcula el rango por menores de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

🔥 Ejercicio Propuesto 2 Halla el valor de $k$ para que $A = \begin{pmatrix} k & 1 \\ 2 & k \end{pmatrix}$ sea singular.

🔥 Ejercicio Propuesto 3 Calcula el determinante de la matriz $4\times4$ desarrollando por la fila con más ceros:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1 \\ 3 & -2 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

🔥 Ejercicio Propuesto 4: Matriz inversa por adjuntos

Calcular las matrices inversas de $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}$.

📝 Ver solución

Matriz A:

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

$F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$, $F_3 \leftarrow F_3 - 2F_1$: $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 0 & -7 & -3 \\ 0 & -6 & -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -7 & -3 \\ -6 & -3 \end{vmatrix} = 21 - 18 = 3$

$|A| = 3 \neq 0$ → existe $A^{-1}$.

Cofactores: $A_{11} = (-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1&3\\2&3\end{vmatrix} = 3-6 = -3$ $A_{12} = (-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&3\\2&3\end{vmatrix} = -(6-6) = 0$ $A_{13} = (-1)^{1+3}\begin{vmatrix}2&1\\2&2\end{vmatrix} = 4-2 = 2$ $A_{21} = (-1)^{2+1}\begin{vmatrix}4&3\\2&3\end{vmatrix} = -(12-6) = -6$ $A_{22} = (-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1&3\\2&3\end{vmatrix} = 3-6 = -3$ $A_{23} = (-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&4\\2&2\end{vmatrix} = -(2-8) = 6$ $A_{31} = (-1)^{3+1}\begin{vmatrix}4&3\\1&3\end{vmatrix} = 12-3 = 9$ $A_{32} = (-1)^{3+2}\begin{vmatrix}1&3\\2&3\end{vmatrix} = -(3-6) = 3$ $A_{33} = (-1)^{3+3}\begin{vmatrix}1&4\\2&1\end{vmatrix} = 1-8 = -7$

$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 2 \\ -6 & -3 & 6 \\ 9 & 3 & -7 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -3 & -6 & 9 \\ 0 & -3 & 3 \\ 2 & 6 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2/3 & 2 & -7/3 \end{pmatrix}$

Matriz B:

$|B| = \begin{vmatrix} 3 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \end{vmatrix}$

Sarrus: $= (3\cdot2\cdot4 + 3\cdot2\cdot0 + 2\cdot1\cdot3) - (2\cdot2\cdot0 + 3\cdot2\cdot3 + 3\cdot1\cdot4)$ $= (24 + 0 + 6) - (0 + 18 + 12) = 30 - 30 = 0$

$|B| = 0$ → No existe $B^{-1}$ (B es singular).

🔥 Ejercicio Propuesto 5: Determinante de matriz $4\times4$

Calcular el determinante de $A = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$.

📝 Ver solución

Desarrollamos por la primera columna (tiene ceros en $a_{21}=0$ y $a_{31}=0$):

$|A| = 3 \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 6 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 6 & 2 \end{vmatrix}$

Primer menor ($3\times3$): $\begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 6 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{vmatrix} = (36+8+4) - (12+8+12) = 48 - 32 = 16$

Segundo menor ($3\times3$): $\begin{vmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 6 & 2 \end{vmatrix} = (12+4+0) - (0+18+8) = 16 - 26 = -10$

$|A| = 3 \cdot 1 \cdot 16 + 1 \cdot (-1) \cdot (-10) = 48 + 10 = 58$

✅ Resultado: $|A| = 58$

🔥 Ejercicio Propuesto 6: Rango por filas

Calcular el rango de $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -1 \end{pmatrix}$.

📝 Ver solución

Observamos que las dos primeras filas son idénticas → eliminamos una (por ejemplo $F_2$).

Trabajamos con: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -1 \end{pmatrix}$

$F_3 \leftarrow F_3 - F_1$: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & -6 & -3 \end{pmatrix}$

$F_3 \leftarrow F_3 - 3F_2$: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$2$ filas no nulas.

✅ Resultado: $\text{rg}(A) = 2$

Nota: $F_3$ es combinación lineal de $F_1$ y $F_4$ (en la matriz original), lo que confirma la dependencia.

🔥 Ejercicio Propuesto 7: Invertibilidad de matriz triangular

Sea $A$ una matriz triangular superior de orden $3$ con elementos de la diagonal no nulos. ¿Existe $A^{-1}$?

📝 Ver solución

Para una matriz triangular, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal:

$|A| = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}$

Como todos los elementos de la diagonal son no nulos, $|A| \neq 0$.

Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.

✅ Respuesta: Sí, $A^{-1}$ existe porque $|A| \neq 0$.

📋 Resumen

Has aprendido que el determinante es mucho más que un número: es el “termómetro” que te dice si una matriz es invertible y cómo escala áreas y volúmenes. Aquí tienes lo fundamental:

Recuerda: el determinante es el “guardían de la invertibilidad”. Si es cero, la matriz es singular y no hay vuelta atrás. Si no es cero, todo funciona.