Sistemas de Ecuaciones Lineales

🔗 Sistemas de Ecuaciones Lineales

💡 Intuición Un sistema de ecuaciones es un conjunto de condiciones que deben cumplirse a la vez. Geométricamente:

📏 $2 \times 2$ → Rectas en el plano

• SCD: Se cruzan en un punto ✦
• SCI: Son la misma recta (coinciden)
• SI: Son paralelas distintas ∥

📐 $3 \times 3$ → Planos en el espacio

• SCD: Tres planos se cortan en un punto
• SCI: Se cortan a lo largo de una recta
• SI: Al menos dos son paralelos

Gauss: Es como organizar un rompecabezas. Primero colocas las piezas del borde (triangular superior) y luego rellenas (sustitución regresiva). ¡Vamos!

🌍 En la vida real: Leyes de Kirchhoff en circuitos

Cada nodo de un circuito eléctrico obedece $\sum I_{\text{entra}} = \sum I_{\text{sale}}$ (ley de corrientes) y cada malla cumple $\sum V = 0$ (ley de voltajes). Resolver el circuito es resolver un sistema lineal. Tu cargador del móvil se diseñó así.

🌍 En la vida real: Recomendaciones de Netflix

La factorización de matrices $R \approx U \cdot V^T$ que predice qué películas te gustarán se resuelve como un sistema lineal con millones de incógnitas. Cada estrellita que pones entrena ese sistema.

🌍 En la vida real: Análisis estructural de edificios

El método de elementos finitos convierte un puente o un rascacielos en un sistema de miles de ecuaciones lineales. Cada ecuación representa el equilibrio de fuerzas en un nodo. Resolverlo dice si la estructura aguanta.

🎯 Objetivo lineales

Clasificar, discutir y resolver usando Gauss, Cramer, y Rouché-Frobenius.

📖 Definición y notación matricial

Un sistema de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas:

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \quad\;\; \vdots \quad\qquad \vdots \qquad\qquad \vdots \qquad\; \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$

Forma compacta: $A \cdot x = b$

x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$$ **Matriz ampliada:** $A^* = (A \mid b)$ (añade la columna de términos independientes). ¿Lo ves? Todo el sistema cabe en una sola ecuación matricial. Limpio y compacto.

📖 Clasificación de sistemas

Tipo	Siglas	Significado	Condición de rangos
🟢 Compatible Determinado	SCD	Solución única	$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$
🟡 Compatible Indeterminado	SCI	Infinitas soluciones	$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < n$
🔴 Incompatible	SI	Sin solución	$\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$

• Sistema Homogéneo: $b = \vec{0}$. Siempre tiene al menos la solución trivial $x = \vec{0}$.
• Sistema No Homogéneo: $b \neq \vec{0}$.

Número de parámetros libres en un SCI: $n - \text{rg}(A)$. Cada parámetro es un grado de libertad.

📝 Teorema de Rouché-Frobenius

El sistema $Ax = b$ es compatible si y solo si:

$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*)$

Entonces:

• Si $\text{rg}(A) = n$ → SCD (solución única).
• Si $\text{rg}(A) < n$ → SCI (infinitas soluciones).

📖 Sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.

Las operaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada $(A \mid b)$ transforman el sistema en otro equivalente:

1. Intercambiar dos ecuaciones.
2. Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
3. Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

💡 Todo sistema se puede transformar mediante estas operaciones en un sistema escalonado equivalente, cuya resolución por sustitución regresiva es inmediata. Es como limpiar el sistema: quitas lo que sobra y dejas solo lo esencial.

📖 Método de Gauss

🧪 Algoritmo de eliminación gaussiana

Paso 1: Escribe la matriz ampliada $(A \mid b)$.

Paso 2: Escalona mediante operaciones elementales por filas.

Paso 3: Si aparece $(0 \; \cdots \; 0 \mid k)$ con $k \neq 0$ → SI (incompatible).

Paso 4: Resuelve por sustitución regresiva (de abajo hacia arriba).

📖 Regla de Cramer

Para un sistema cuadrado ($m = n$) con $|A| \neq 0$:

$x_i = \frac{|A_i|}{|A|}, \quad i = 1, 2, \ldots, n$

Donde $A_i$ es la matriz $A$ con la columna $i$ sustituida por el vector $b$.

💡 Cramer es elegante pero solo práctico para sistemas pequeños. Para $n$ grande, Gauss es tu mejor amigo.

📖 Métodos elementales

🔁 Sustitución

Despeja una incógnita de una ecuación y sustitúyela en las demás.

➕ Reducción

Multiplica ecuaciones por constantes y súmalas para eliminar incógnitas.

Estos métodos son ideales para sistemas pequeños ($2 \times 2$ o $3 \times 3$). ¡Pan comido!

🔑 Concepto clave El teorema de Rouché-Frobenius es la piedra angular: compara $\text{rg}(A)$ con $\text{rg}(A^*)$ para decidir si el sistema tiene solución y cuántas. La eliminación gaussiana es el método universal: escalona, clasifica y resuelve en un solo proceso.

Número de parámetros libres en un sistema compatible indeterminado: $n - \text{rg}(A)$. Cada parámetro corresponde a un grado de libertad geométrico (dimensión extra de la solución).

✏️ Ejemplo Resuelto 1 Resolver por Gauss: $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + 2z = 5 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$

Matriz ampliada:

$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \end{array} \right)$

Escalonamiento:

$F_2 \leftarrow F_2 - F_1$: $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \end{array} \right)$

$F_3 \leftarrow F_3 - 2F_1$: $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -3 & -11 \end{array} \right)$

$F_3 \leftarrow 2F_3 - F_2$: $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \end{array} \right)$

Sustitución regresiva:

De $F_3$: $-7z = -21 \implies z = 3$. De $F_2$: $-2y + 3 = -1 \implies y = 2$. De $F_1$: $x + 2 + 3 = 6 \implies x = 1$.

✅ Solución (SCD)

$x = 1, \quad y = 2, \quad z = 3$

✏️ Ejemplo Resuelto 2 Discutir y resolver por Rouché-Frobenius: $\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = 6 \\ x + 2y + z = 1 \end{cases}$

Matriz ampliada y escalonamiento:

$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & -2 & 6 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \end{array} \right)$

$F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$ → $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \end{array} \right)$

$F_3 \leftarrow F_3 - F_1$ → $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \end{array} \right)$

$F_2 \leftrightarrow F_3$ → $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2$, $n = 3$ → SCI con $3 - 2 = 1$ parámetro libre.

De $F_2$: $2z = -2 \implies z = -1$. De $F_1$: $x + 2y + 1 = 3 \implies x = 2 - 2y$.

Tomando $y = \lambda$:

✅ Solución (SCI)

$(x, y, z) = (2 - 2\lambda,\; \lambda,\; -1), \quad \lambda \in \mathbb{R}$

🔥 Ejercicio Propuesto 1 Resuelve por la regla de Cramer: $\begin{cases} 3x + y = 2 \\ x - 2y = 3 \end{cases}$

🔥 Ejercicio Propuesto 2 Discute según los valores de $m$: $\begin{cases} mx + y = 1 \\ x + my = m \end{cases}$

🔥 Ejercicio Propuesto 3 Discute y resuelve según los valores de $k \in \mathbb{R}$:

$\begin{cases} x + y + kz = 1 \\ x + ky + z = 1 \\ kx + y + z = 1 \end{cases}$

🔥 Ejercicio Propuesto 4: Clasificar y resolver sistema $3\times3$

Clasificar y resolver $\begin{cases} 2x - y - 2z = 1 \\ x + z = 2 \\ x - y - z = 3 \end{cases}$.

📝 Ver solución

Matriz ampliada:

$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & 3 \end{array} \right)$

$F_1 \leftrightarrow F_2$ para tener pivote $1$: $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 3 \end{array} \right)$

$F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$, $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$: $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -4 & -3 \\ 0 & -1 & -2 & 1 \end{array} \right)$

$F_3 \leftarrow F_3 - F_2$: $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array} \right)$

$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n$ → SCD.

Sustitución regresiva:

• De $F_3$: $2z = 4 \implies z = 2$
• De $F_2$: $-y - 4(2) = -3 \implies -y - 8 = -3 \implies y = -5$
• De $F_1$: $x + 0(-5) + 2 = 2 \implies x = 0$

✅ Solución

$x = 0, \quad y = -5, \quad z = 2$

🔥 Ejercicio Propuesto 5: Sistema homogéneo

¿Un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas homogéneo siempre es compatible determinado?

📝 Ver solución

Un sistema homogéneo siempre tiene al menos la solución trivial $x = y = z = 0$, por lo que siempre es compatible.

Sin embargo, no siempre es determinado:

• Si $\text{rg}(A) = 3 = n$ → SCD (solo solución trivial).
• Si $\text{rg}(A) < 3$ → SCI (infinitas soluciones, hay ecuaciones redundantes).

✅ Respuesta: No. Puede tener ecuaciones linealmente dependientes y ser compatible indeterminado.

Ejemplo: $\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \\ 3x + 3y + 3z = 0 \end{cases}$ es SCI (todas las ecuaciones son la misma).

🔥 Ejercicio Propuesto 6: Clasificar y resolver sistema homogéneo

Clasificar y resolver $\begin{cases} -x - z = 0 \\ -x - 2y + 2z = 0 \\ x - y + z = 0 \end{cases}$.

📝 Ver solución

Es un sistema homogéneo ($b = \vec{0}$).

Matriz de coeficientes: $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

Escalonamos:

$F_2 \leftarrow F_2 - F_1$, $F_3 \leftarrow F_3 + F_1$: $\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

$F_2 \leftrightarrow F_3$: $\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

$F_3 \leftarrow F_3 - 2F_2$: $\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

$\text{rg}(A) = 3 = n$ → SCD.

Sustitución regresiva:

• De $F_3$: $3z = 0 \implies z = 0$
• De $F_2$: $-y = 0 \implies y = 0$
• De $F_1$: $-x - 0 = 0 \implies x = 0$

✅ Solución única (trivial)

$x = 0, \quad y = 0, \quad z = 0$

🔥 Ejercicio Propuesto 7: Sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas

Dado un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, decidir qué tipo puede ser.

📝 Ver solución

En un sistema con $m = 2$ ecuaciones y $n = 3$ incógnitas:

• $\text{rg}(A) \leq \min(2, 3) = 2$, así que $\text{rg}(A) \in \{0, 1, 2\}$.
• $\text{rg}(A^*) \in \{0, 1, 2\}$ (la ampliada añade una columna, pero no puede superar $m=2$).

Casos posibles:

$\text{rg}(A)$	$\text{rg}(A^*)$	Tipo
$1$	$2$	SI (incompatible)
$1$	$1$	SCI (compatible indeterminado)
$2$	$2$	SCI (compatible indeterminado)

Nunca puede ser SCD porque $\text{rg}(A) \leq 2 < 3 = n$, por lo que si es compatible siempre tendrá parámetros libres.

✅ Respuesta: Puede ser SI o SCI. Nunca SCD.

🔥 Ejercicio Propuesto 8: Clasificar y resolver sistema $3\times3$

Clasificar y resolver $\begin{cases} x - y - 2z = 1 \\ 2x - 2y + z = 0 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$.

📝 Ver solución

Matriz ampliada:

$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right)$

$F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$, $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$: $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & -2 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \end{array} \right)$

$F_2 \leftrightarrow F_3$: $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 5 & -2 \end{array} \right)$

$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n$ → SCD.

Sustitución regresiva:

• De $F_3$: $5z = -2 \implies z = -2/5$
• De $F_2$: $2y + (-2/5) = -1 \implies 2y = -1 + 2/5 = -3/5 \implies y = -3/10$
• De $F_1$: $x - (-3/10) - 2(-2/5) = 1 \implies x + 3/10 + 4/5 = 1 \implies x + 3/10 + 8/10 = 1 \implies x = -1/10$

✅ Solución

$x = -\frac{1}{10}, \quad y = -\frac{3}{10}, \quad z = -\frac{2}{5}$

📋 Resumen

Has aprendido a clasificar, discutir y resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales. Aquí tienes lo fundamental:

Recuerda: Gauss + Rouché-Frobenius es la combinación ganadora. Con ellos en tu caja de herramientas, ningún sistema se te resiste.