Matrices

📐 Matrices

💡 Intuición Piensa en una tabla de Excel: filas y columnas llenas de números. Eso es una matriz. ¡Vamos!

📏 Dimensión $m \times n$: $m$ filas, $n$ columnas. Si $m = n$, es cuadrada.

🔢 Elemento $a_{ij}$: El número en la fila $i$, columna $j$.

¿Para qué sirven? Tres grandes usos:

1. Almacenar datos: Una imagen digital es una matriz de píxeles.
2. Transformaciones geométricas: Rotar, escalar o sesgar imágenes (toda la computación gráfica).
3. Sistemas lineales: $A \cdot x = b$ condensa un sistema en una ecuación matricial.

Visualiza el producto: Multiplicar $A$ (filas) por $B$ (columnas) es como combinar dos recetas. Cada celda de $C$ se obtiene del producto escalar de una fila de $A$ con una columna de $B$. Fácil, ¿no?

Imagina una transformación: Una matriz $2 \times 2$ transforma el cuadrado unitario en un paralelogramo. Las columnas de la matriz son las imágenes de los vectores base $\vec{e}_1 = (1,0)$ y $\vec{e}_2 = (0,1)$. Por ejemplo, la matriz $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1.5 \end{pmatrix}$ envía $\vec{e}_1$ a $(2,1)$ y $\vec{e}_2$ a $(-1,1.5)$, estirando y sesgando el plano.

🌍 En la vida real: PageRank de Google

El algoritmo que ordena los resultados de búsqueda es un problema de vectores propios sobre una matriz de miles de millones de filas y columnas. Cada página web es una fila; cada enlace, una entrada. El PageRank es el vector propio dominante de esa matriz.

🌍 En la vida real: Filtros de Instagram

Cada filtro que aplicas a una foto es una matriz de convolución $3 \times 3$ o $5 \times 5$ que modifica cada píxel en función de sus vecinos. Desenfocar, realzar bordes o detectar rostros son operaciones matriciales.

🌍 En la vida real: Matrices de confusión en IA

Cuando entrenas un modelo de clasificación, la matriz de confusión $C_{ij}$ = “cuántas instancias de clase $i$ se predijeron como clase $j$” mide la precisión, el recall y la F1-score con álgebra matricial básica.

🎯 Objetivo

Operar con matrices, calcular rangos, escalonar y hallar inversas.

📖 Definición de matriz

Una matriz $A$ de orden $m \times n$ sobre $\mathbb{R}$ es un conjunto de $m \cdot n$ números organizados en $m$ filas y $n$ columnas:

a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

El conjunto de matrices de orden $m \times n$ con entradas reales se denota $\mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R})$.

📖 Tipos de matrices

🟦 Cuadrada: $m = n$. Diagonal principal: $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$.

⬊ Diagonal: Cuadrada con $a_{ij} = 0$ si $i \neq j$.

🆔 Identidad $I_n$: Diagonal con $1$s. Neutro del producto: $AI = IA = A$.

⬜ Nula $0$: Todos los elementos son $0$.

🔺 Triangular Superior: $a_{ij} = 0$ si $i > j$ (ceros bajo la diagonal).

🔻 Triangular Inferior: $a_{ij} = 0$ si $i < j$ (ceros sobre la diagonal).

🔷 Simétrica: $A = A^t$, es decir, $a_{ij} = a_{ji}$.

🔶 Antisimétrica: $A^t = -A$, con $a_{ii} = 0$.

🔲 Escalar: Diagonal con todos los elementos iguales: $A = \lambda I_n$.

📖 Submatrices

Una submatriz de $A$ es cualquier matriz obtenida al eliminar algunas filas y/o columnas de $A$.

En particular, al eliminar una fila y una columna obtienes una submatriz de orden $(m-1) \times (n-1)$. Estas submatrices son esenciales para calcular determinantes por el método de los adjuntos.

💡 Los menores de una matriz son los determinantes de sus submatrices cuadradas.

📖 Operaciones con matrices

➕ Suma/Resta

Solo entre matrices del mismo orden. Elemento a elemento:

$(A \pm B)_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}$

✖️ Producto por escalar

Multiplica cada elemento por $\lambda$:

$(\lambda A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij}$

🔗 Producto de matrices

$A \in \mathcal{M}_{m \times n}$, $B \in \mathcal{M}_{n \times p}$:

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$

Resultado: orden $m \times p$.

⚠️ El producto no es conmutativo: en general $AB \neq BA$. La asociativa $(AB)C = A(BC)$ y la distributiva sí se cumplen.

💡 “Fila × Columna”: Cada celda $c_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de $A$ con la columna $j$ de $B$. Es como preguntar: ¿cuánto contribuye cada columna de $B$ a la fila $i$ de $A$?

📝 Propiedades de las operaciones

Operación	Propiedades
Suma	Conmutativa: $A+B = B+A$; Asociativa: $(A+B)+C = A+(B+C)$; Elemento neutro: $A+0 = A$; Elemento opuesto: $A + (-A) = 0$
Producto por escalar	Distributiva sobre suma matricial: $\lambda(A+B) = \lambda A + \lambda B$; Distributiva sobre suma escalar: $(\lambda+\mu)A = \lambda A + \mu A$; Asociativa mixta: $(\lambda\mu)A = \lambda(\mu A)$
Producto	Asociativa: $(AB)C = A(BC)$; Distributiva: $A(B+C) = AB + AC$; NO conmutativa: $AB \neq BA$ en general; Elemento neutro: $AI = IA = A$
Traspuesta	$(A^t)^t = A$; $(A+B)^t = A^t + B^t$; $(AB)^t = B^t A^t$; $(\lambda A)^t = \lambda A^t$

📖 Matriz traspuesta

Intercambia filas por columnas:

$(A^t)_{ij} = a_{ji}$

Propiedades: $(A^t)^t = A$, $(A+B)^t = A^t + B^t$, $(AB)^t = B^t A^t$, $(\lambda A)^t = \lambda A^t$.

📖 Operaciones elementales y escalonamiento

Tres operaciones sobre filas:

1. 🔄 $F_i \leftrightarrow F_j$ — Intercambiar filas
2. ✖️ $F_i \leftarrow \lambda F_i$ ($\lambda \neq 0$) — Multiplicar por escalar
3. ➕ $F_i \leftarrow F_i + \lambda F_j$ — Sumar múltiplo de otra fila

Una matriz está en forma escalonada por filas si:

• Las filas nulas están al final.
• El pivote de cada fila está a la derecha del pivote de la fila anterior.

📖 Rango de una matriz

El rango $\text{rg}(A)$ es el número de filas no nulas de cualquier forma escalonada equivalente.

Coincide con el número máximo de columnas (o filas) linealmente independientes:

$\text{rg}(A) \leq \min(m, n)$

📖 Matriz inversa

$A$ (cuadrada, orden $n$) tiene inversa $A^{-1}$ si:

$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n$

• Si existe, $A$ es regular (o invertible).
• Si no, $A$ es singular.

Gauss-Jordan: Amplía $A$ con $I_n$ a su derecha $(A \mid I_n)$. Aplica operaciones elementales hasta que $A \to I_n$. Lo que queda a la derecha es $A^{-1}$. ¿Lo ves? Es como resolver un puzzle: conviertes $A$ en la identidad y la identidad se transforma en $A^{-1}$.

🔑 Concepto clave Tres operaciones elementales por fila bastan para escalonar cualquier matriz, hallar su rango y encontrar su inversa. El escalonamiento es la herramienta universal del álgebra matricial.

Regla mnemotécnica del producto: Cada elemento $(AB)_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$. Para que el producto tenga sentido, el número de columnas de $A$ debe igualar al número de filas de $B$.

✏️ Ejemplo Resuelto 1 Calcula $2A - 3B$ y $AB$ para:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

Suma ponderada $2A - 3B$

$2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \quad 3B = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ -3 & 9 \end{pmatrix}$

$2A - 3B = \begin{pmatrix} 2-6 & 4-0 \\ 6-(-3) & 8-9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 9 & -1 \end{pmatrix}$

Producto $AB$ (fila × columna)

$AB = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 2 & 12 \end{pmatrix}$

Comprobación: $BA \neq AB$

$BA = \begin{pmatrix} 2\cdot1+0\cdot3 & 2\cdot2+0\cdot4 \\ (-1)\cdot1+3\cdot3 & (-1)\cdot2+3\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 10 \end{pmatrix}$

Efectivamente, $AB \neq BA$.

✏️ Ejemplo Resuelto 2 Hallar el rango de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ mediante escalonamiento.

Matriz inicial:

$F_2 \leftarrow F_2 - 3F_1$:

$F_3 \leftarrow F_3 + F_1$:

$F_2 \leftrightarrow F_3$:

$2$ filas no nulas → $\text{rg}(A) = 2$.

🔥 Ejercicio Propuesto 1 Calcula la inversa por Gauss-Jordan de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$.

🔥 Ejercicio Propuesto 2 Calcula el rango de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$.

🔥 Ejercicio Propuesto 3 Calcula el rango de la matriz $4\times 4$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \end{pmatrix}$

🔥 Ejercicio Propuesto 4: Traspuesta e inversa

Sea $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$. Calcular $A^t$ y $A^{-1}$ (si existe).

📝 Ver solución

Traspuesta:

$A^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

Inversa: $|A| = 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) = 6 + 1 = 7 \neq 0$ → existe $A^{-1}$.

Matriz adjunta: $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

(Recordar: $A_{11}=3$, $A_{12}=-(-1)=1$, $A_{21}=-1$, $A_{22}=2$)

Trasponemos la adjunta y dividimos por $|A|$:

$A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/7 & -1/7 \\ 1/7 & 2/7 \end{pmatrix}$

Verificación: $AA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3/7 & -1/7 \\ 1/7 & 2/7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6/7+1/7 & -2/7+2/7 \\ -3/7+3/7 & 1/7+6/7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$ ✓

🔥 Ejercicio Propuesto 5: Producto y operaciones con matrices

Sean $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}$. Hallar $AB$, $BA$ y $A - 3I_3$.

📝 Ver solución

$AB$: $A$ es $3 \times 2$, $B$ es $2 \times 4$ → producto posible, resultado $3 \times 4$.

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

Fila 1 × B: $(2\cdot1+1\cdot1,\; 2\cdot2+1\cdot3,\; 2\cdot1+1\cdot5,\; 2\cdot1+1\cdot2) = (3, 7, 7, 4)$

Fila 2 × B: $(1\cdot1+3\cdot1,\; 1\cdot2+3\cdot3,\; 1\cdot1+3\cdot5,\; 1\cdot1+3\cdot2) = (4, 11, 16, 7)$

Fila 3 × B: $(3\cdot1+4\cdot1,\; 3\cdot2+4\cdot3,\; 3\cdot1+4\cdot5,\; 3\cdot1+4\cdot2) = (7, 18, 23, 11)$

$AB = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 7 & 4 \\ 4 & 11 & 16 & 7 \\ 7 & 18 & 23 & 11 \end{pmatrix}$

$BA$: $B$ es $2 \times 4$, $A$ es $3 \times 2$ → número de columnas de $B$ ($4$) $\neq$ número de filas de $A$ ($3$). No tiene sentido.

$A - 3I_3$: $I_3$ es $3 \times 3$, pero $A$ es $3 \times 2$. No se pueden restar matrices de distinto orden. No es posible.

🔥 Ejercicio Propuesto 6: Producto por escalar y producto de matrices

Sean $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}$. Calcular $3A$ y $BA$.

📝 Ver solución

$3A$: Multiplicamos cada elemento por $3$:

$3A = \begin{pmatrix} 12 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & 3 \\ 9 & 15 & 3 \end{pmatrix}$

$BA$: $B$ es $2 \times 3$, $A$ es $3 \times 3$ → resultado $2 \times 3$.

$BA = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}$

$(BA)_{11} = 6\cdot4 + 2\cdot1 + 1\cdot3 = 24 + 2 + 3 = 29$ $(BA)_{12} = 6\cdot1 + 2\cdot2 + 1\cdot5 = 6 + 4 + 5 = 15$ $(BA)_{13} = 6\cdot0 + 2\cdot1 + 1\cdot1 = 0 + 2 + 1 = 3$

$(BA)_{21} = 1\cdot4 + 3\cdot1 + 5\cdot3 = 4 + 3 + 15 = 22$ $(BA)_{22} = 1\cdot1 + 3\cdot2 + 5\cdot5 = 1 + 6 + 25 = 32$ $(BA)_{23} = 1\cdot0 + 3\cdot1 + 5\cdot1 = 0 + 3 + 5 = 8$

$BA = \begin{pmatrix} 29 & 15 & 3 \\ 22 & 32 & 8 \end{pmatrix}$

🔥 Ejercicio Propuesto 7: Submatrices cuadradas

¿Cuántas submatrices cuadradas tiene $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$?

📝 Ver solución

$A$ es de orden $3 \times 2$. Las submatrices cuadradas posibles son:

• De orden 1: Cada elemento individual. Hay $3 \times 2 = 6$ submatrices de orden $1$.
• De orden 2: Se obtienen eliminando una fila. Hay $\binom{3}{1} = 3$ formas de elegir qué fila eliminar.

No hay submatrices de orden $3$ porque $A$ solo tiene $2$ columnas.

✅ Resultado: 9 submatrices cuadradas (6 de orden 1 + 3 de orden 2).

📋 Resumen

Has aprendido a trabajar con matrices desde cero: definirlas, operar con ellas, escalonarlas y hallar inversas. Aquí tienes lo fundamental:

Recuerda: las matrices son la herramienta que convierte los sistemas de ecuaciones en operaciones ordenadas. Domínalas y tendrás media asignatura en el bolsillo.