Vectores

🏹 Vectores

💡 Intuición Un vector es una flecha. Tres atributos:

📏 Módulo — Longitud

🧭 Dirección — Recta que lo contiene

➡️ Sentido — Hacia dónde apunta

Imagina vectores en el plano: Supón que tienes un vector $\vec{u} = (3, 1)$ y un vector $\vec{v} = (1, 3)$. La suma $\vec{u} + \vec{v} = (4, 4)$ se obtiene colocando la cola de $\vec{v}$ en la punta de $\vec{u}$, como si caminaras 3 km al este y luego 4 km al norte, resultando en una diagonal noreste de 5.66 km. ¡Vamos!

Suma = caminar: Para sumar $\vec{u} + \vec{v}$, coloca la cola de $\vec{v}$ en la punta de $\vec{u}$. Si caminas 3 km al este y luego 4 km al norte, es como caminar 5 km en diagonal noreste. Fácil, ¿no?

Combinación lineal: Dados dos vectores base (ejes $X$ e $Y$), cualquier vector es $\vec{w} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j}$. Es como decir “avanza $\lambda$ pasos en horizontal y $\mu$ en vertical”.

Producto escalar: Mide “cuánto se parecen en dirección”. Positivo = apuntan parecido. Cero = perpendiculares. Negativo = direcciones opuestas.

Producto vectorial: Genera un vector perpendicular a ambos. Su módulo es el área del paralelogramo. Fundamental en física (torque, electromagnetismo).

🌍 En la vida real: Buscadores semánticos (TF-IDF)

El producto escalar entre vectores de términos mide la similitud entre documentos. Cuando buscas en Google, tu consulta se convierte en un vector y se compara con millones de vectores-documento mediante productos escalares para rankear resultados.

🌍 En la vida real: Embeddings en ChatGPT

Cada palabra y cada frase en un modelo de lenguaje como GPT se representa como un vector de cientos de dimensiones (embedding). Palabras con significado similar tienen vectores cercanos: $\vec{\text{rey}} - \vec{\text{hombre}} + \vec{\text{mujer}} \approx \vec{\text{reina}}$.

🌍 En la vida real: Gráficos por ordenador y videojuegos

El producto vectorial calcula el vector normal a una superficie, imprescindible para la iluminación en 3D. Cada triángulo renderizado en un videojuego tiene una normal calculada con un producto vectorial que determina cómo la luz rebota en él.

🎯 Objetivo

Operar con vectores, distinguir dependencia/independencia, calcular productos escalar y vectorial.

📖 Vectores fijos y libres

Vector fijo: Segmento orientado con origen $A$ y extremo $B$:

$\overrightarrow{AB} = (b_1 - a_1,\; b_2 - a_2,\; b_3 - a_3)$

Vector libre: Conjunto de todos los vectores fijos con igual módulo, dirección y sentido. Se representa $\vec{v}$ y no tiene posición fija. Puedes moverlo por el espacio sin que cambie.

📖 Operaciones con vectores

➕ Suma

$\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3)$

✖️ Producto por escalar

$\lambda \vec{u} = (\lambda u_1, \lambda u_2, \lambda u_3)$

📏 Módulo (longitud)

En $\mathbb{R}^2$: $|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$

En $\mathbb{R}^3$: $|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

Vector unitario si $|\vec{u}| = 1$. Normalizar: $\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}$.

📖 Combinación lineal, dependencia e independencia

Combinación lineal de $\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k$:

$\vec{w} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \cdots + \lambda_k \vec{v}_k$

• Linealmente independientes: La única combinación que da $\vec{0}$ es la trivial ($\lambda_i = 0$ para todo $i$).
• Linealmente dependientes: Existe una combinación no trivial que da $\vec{0}$ (hay “redundancia”).

💡 En $\mathbb{R}^2$, 3 vectores siempre son dependientes (solo necesitas 2 direcciones base). En $\mathbb{R}^3$, necesitas 3 vectores independientes para formar una base. ¿Lo ves? Es como tener demasiadas manos para un mismo trabajo.

📖 Base y dimensión

Una base de $\mathbb{R}^n$ son $n$ vectores linealmente independientes.

Base canónica:

• $\mathbb{R}^2$: $\{\vec{i} = (1,0),\; \vec{j} = (0,1)\}$
• $\mathbb{R}^3$: $\{\vec{i} = (1,0,0),\; \vec{j} = (0,1,0),\; \vec{k} = (0,0,1)\}$

📝 Producto escalar

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$

Propiedades fundamentales:

Propiedad	Fórmula
Relación geométrica	$\vec{u} \cdot \vec{v} =
Módulo al cuadrado	$\vec{u} \cdot \vec{u} =
Ortogonalidad	$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
Ángulo entre vectores	$\cos \theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{

📝 Producto vectorial (solo $\mathbb{R}^3$)

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = (u_2 v_3 - u_3 v_2)\vec{i}\; - (u_1 v_3 - u_3 v_1)\vec{j}\; + (u_1 v_2 - u_2 v_1)\vec{k}$$ | Propiedad | Significado | |-----------|-------------| | $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\sin\theta$ | Área del paralelogramo | | $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$ | Anticonmutativo | | $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \iff \vec{u} \parallel \vec{v}$ | Vectores paralelos |

🔑 Concepto clave Tres herramientas miden la relación entre vectores:

• Producto escalar → número que mide proyección y ángulo. Si es $0$, los vectores son ortogonales.
• Producto vectorial → nuevo vector perpendicular a ambos, cuyo módulo es el área del paralelogramo.
• Dependencia lineal → si un vector es combinación de otros, sobra. Para formar una base de $\mathbb{R}^n$ necesitas exactamente $n$ vectores independientes.

✏️ Ejemplo Resuelto 1 Dados $\vec{u} = (1, 2, -1)$ y $\vec{v} = (3, 0, 4)$, calcula:

a) Producto escalar y ángulo

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 4 = -1$

$|\vec{u}| = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{9 + 0 + 16} = 5$

$\cos \theta = \frac{-1}{5\sqrt{6}} \approx -0.0816 \implies \theta \approx 94.68^\circ$

No son ortogonales, pero son casi perpendiculares.

b) Producto vectorial